Žemės modelio skaičiavimas naudojant Struvės geodezinio lanko rezultatus

Kaip dienovinio ilgio matavimai leidžia nustatyti Žemės dydį

Dar nuo Eratostheno laikų bandant įvertinti Žemės dydį ir formą, suvokta, kad Žemės forma iš esmės atitinka matematinį modelį - elipsoidą arba sferoidą, kurį sudaro didžioji pusašė a ir mažoji pusašė b (1 pav.).

1 pav. Žemės elpsoidas.

Eratostenas išskaičiavo, kad jei Žemės elipsoidą sugebėtume įvertinti kaip netaisyklingą apskritimą, sudarantį 360 laipsnių ir sugebėję išmatuoti vieno laipsnio apskritime ilgį, gautume visą Žemės perimetrą. Vis dėlto uždavinys nėra toks paprastas, nes, kaip matome iš 1 pav., Žemės elipsoido kreivumo spindulys yra kintantis, t.y. – Žemė nevienodai kinta prie pusiaujo ir Šiaurės ar Pietų ašyse. Todėl yra būtina antžeminiais ir astronominiais matavimais nustatyti kaip galima artimesnį tikrajam Žemės paviršiui elipsoido kreivumo kampą α, o jau jį nustačius, galime gauti ir Žemės paplokštumą (flattening), kuris yra skirtumas tarp šių pusašių, padalintas iš kreivumo kampo

 

Taip pat matematikoje naudojamas terminas „ekscentriškumas“, teigiamas realus skaičius, išreiškiantis polinkio charakteristikas:

Per ekscentriškumą galima išreikšti dienovidinio kreivumo priklausomybę

Nustatyto dienovidinio ilgis S, arba pokytis dm = M(φ) dφ nuo pusiaujo iki platumos φ apskaičiuojamas

 

Nustatytos dienovidinio atkarpos išraiška

Reikia įvertinti, kad dėl Žemės formos paplokštumas kritiškai skiriasi Žemės ašyse ir pusiaujuje. Jei bandytume pamatuoti palei dienovidinį tuo pačiu pokyčio kampu gautą atstumą Žemės elipsoido ašyse ir pusiaujuje (2 pav.) , atstumas S1 būtų didesnis nei atstumas S2.

2 pav. Žemės paplokštumo skirtumai.

Iš pateikto pavyzdžio aišku, kad jei pavyktų nustatyti atstumą Žemės dienovidinyje ir sužinoti kiek šis atstumas apima Žemės elipsoido platumų laipsnių, išskaičiuotume 1 laipsnio atstumą dienovidinyje, o jį padauginus iš 360, gautume visą Žemės perimetrą. Kuo ilgesnį nustatytume dienovidinio ilgį S, tuo artimesnį Žemės paplokštumui kreivumo pokytį galėtume pritaikyti (3 pav.).  Nustačius dienovidinio 1 laipsnio ilgį S, nesudėtingai apskaičiuojame Žemės perimetrą

, o taip pat ir Žemės spindulį .

3 pav. Dienovidinio ilgis elipsode.

Dienovidinio ilgio matavimas trianguliacine grandine

XVII a. pradėtas taikyti trianguliacijos metodas suteikė galimybę tiksliau išmatuoti didelius atstumus eliminuojant žemės paviršiaus nelygumus. Struvės geodezinio lanko matavimams taikytas  modifikuotas olandų mokslininko Vilebordas Snel van Rojenas (Willebrord Snel van Royen) trianguliacijos metodas. Struvės geodezinio lanko grandinėje buvo suprojektuoti trikampių segmentai, kurių vieno trikampio kraštinė (bazė) buvo labai tiksliai pamatuota vietovėje segmento pradžioje ir pabaigoje, kaip parodyta raudona dviguba linija 4 pav.

4 pav. Trianguliacijos grandinė palei dienovidinį / Triangulation chain along a meridian.

Atliekant trianguliacijos matavimus, išmatuoti vietovėje visi trikampių grandinės posūkių kampai tarp taškų, o pritaikius trigonometrinės sinusų teoremos formules (5 pav.), išskaičiuoti kiekvienos kraštinės ilgiai. Siekiant užsitikrinti skaičiavimų kontrolę, kiekvieno trikampių segmento pabaigoje vėl buvo atlikti tikslūs vienos kraštinės ilgio matavimai vietovėje (4 pav.).

5 pav. Sinusų trigonometrinės teoremos principų taikymai.

Viso Struvės gerodeziniame lanke tiksliai vietovėje išmatuotos 10 kraštinių (bazės), o siekiant nustatyti taškų padėtį erdvėje ir išskaičiuoti žemės kreivumo spindulį, Struvės geodeziniame lanke 13-oje punktų atlikti astronominiai stebėjimai nustatant astronomines platumas ir kryptis į gretimus punktus - astronominius azimutus. Astronominiai matavimai buvo atliekami aukšto tikslumo teleskopais stebint žvaigždžių padėtį ir fiksuojant matavimų laiką, pagal kurį žvaigždžių padėties parametrai buvo tikslinami iš astronominių žinynų.

Grandinės matavimai buvo vykdomi nebūtinai tiksliai pagal dienovidinį, nes dažnai vietovės reljefas ir augalija nesuteikdavo tokios galimybės. Apdorojus skaičiavimo rezultatus ir išskaičiavus kiekvieno grandinės punkto astronomines platumas, šios buvo matematiškai projektuojamos į dienovidinio liniją, taip fiksuojant nustatytą dienovidžio ilgį. Struvės geodezinio lanko ilgis – 2822 km, fiksuojant lanko šiauriausią tašką Fuglenes (Norvegija) ir piečiausią – Staro Nekrasovka. Grandinės taškai profesoriaus F.G.W. Struvės ataskaitoje buvo projektuoti į taip vadinamą Tartu dienovidinį – 26 laipsniai ir 43 minutės į Rytus nuo Grinvičo.

Pirmasis praktiškai pritaikęs Struvės geodezinio lanko parametrus buvo Fridrichas Vilhelmas Beselis (Friedrich Wilhelm Bessel), kuris išskaičiavo taip vadinamo Beselio elipsoido parametrus: spindulys a, nuo Žemės centro iki pusiaujo a = 6337397 , Žemės suplokštėjimas α = 1 / 299,15. Beselio elipsoidas tarnavo daugiau nei 100 metų kaip patikimas Žemės modelio pagrindas daugelyje pritaikomųjų geodezines koordinačių sistemų.

6 pav. Dienovidinio atkarpos AB nustatymas elipsoide.

Svarstant apie  sferinę atliktų Struvės geodezinio lanko platumų ir ilgumų transformaciją, akcentuotini keli matematinės analizės aspektai. Įvertinkime dvejus taškus sferiniame paviršiuje – A, kurio platuma φ1 ir ilguma λ1 ir B, kurio platuma φ2 ir ilguma λ2 (6 pav.). Jungiamoji sferinė atkarpa (iš A į B) yra AB, kurios ilgis s₁₂ ir kurios abiejuose galuose yra azimutai α₁ ir α₂. Kuomet turime nustatę dydžius A, α₁, ir  s₁₂ sprendžiant geodezinį uždavinį galime nustatyti kito taško B parametrus ir jo azimutą šiaurės kryptimi α_2.

Pagal duotąjį pavyzdį sprendžiant sferinės trigonometrijos uždavinį, kuomet dienovidinio šiaurinė kryptis yra aiški, galime išskaičiuoti trikampį NAB taikant matematines trigonometrines (trikampių) formules.

,

kur trikampių kampų suma visuomet yra bus

                    

7 pav. Dienovidinio projekcijos elementai.

Vertinant kreivumo pokytį ρ elipsoido paviršiuje F.W. Beselis išveda priklausomybę tarp azimuto α, ilgio pokyčio ds, bei platumos pokyčio dφ (7 pav.).

Dienovidinės atkarpos išraiška:

Parengė dr. Saulius Urbanas.

---

Šaltiniai:

Bessel, F. W. (2010) [1825]. Translated by Karney, C. F. F.; Deakin, R. E. "The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements". Astronomische Nachrichten. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1824

Karney, C. F. F. (2013). "Algorithms for geodesics". Journal of Geodesy. 87 (1): 43–55. arXiv:1109.4448. Bibcode:2013 Journal of Geodesy, Volume 87.

Smith J. R: The Struve Geodetic Arc. International Institution for History of Surveying & Measurement. FIG, 2005.

Struve W. 1957. Arc of Meridian. Moscow

Struve, W.: The arc of the meridian of 25∘20′ between the Danube and the Arctic Sea, measured from 1816 to 1855 under the direction of K. Tenner, N. H. Selander, Ch. Hansteen, and W. Struve.

Struve, W.: Géodésie. Sur la jonction de deux mesures de degres executees en Russie, Bibliotheque Universelle, des Sciences, Belles-Lettres et Arts. Sciences et arts. Faisant Suite a la Biblioteque Britannique, Redigee a Geneve

https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesics_on_an_ellipsoid , 2023.